\section{引言}

\begin{frame}{解二、三元线性方程组}

解方程是代数中一个基本的问题， 特别是在中学所学代数中， 解方程占有重要的地位。 因此这个问题是读者所熟悉的。 譬如说， 如果我们知道了一段导线的电阻 $R$, 以及它的两端的电位差 $u$,那么通过这段导线的电流强度 $i$, 就可以由关系式
\[
i R=u
\]
求出来。 这就是通常所谓解一元一次方程的问题。 在中学所学代数中， 我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即\emph{线性方程组}。 这一章是引进行列式来解线性方程组， 而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。


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对于二元线性方程组
\[
  \begin{cases}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}=b_{1}, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}=b_{2},
\end{cases}
\]
\pause
当 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0$ 时，此方程组有唯一解， 即
\[
x_{1}=\frac{b_{1} a_{22}-a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}, \quad x_{2}=\frac{a_{11} b_{2}-b_{1} a_{21}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}

  我们称 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$ 为\emph{二阶行列式}，用符号表示为
\[
  a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}=\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}.
\]
\pause
于是上述解可以用二阶行列式叙述为 :

当二阶行列式
\[
  \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} \neq 0
\]
时， 该方程组有唯一解， 解为
\[
  x_{1}=\frac{\begin{vmatrix}
    b_{1} & a_{12} \\
  b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}}, \quad x_{2}=\frac{\begin{vmatrix}
  a_{11} & b_{1} \\
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}} .
\]

\pause
对于三元线性方程组有相仿的结论。设有三元线性方程组
\[
  \begin{cases}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=b_{1}, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}=b_{2}, \\
a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3}=b_{3} .
\end{cases}
\]
\end{frame}

\begin{frame}

称代数式
\[
a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}
\]
为\emph{三阶行列式}，用符号表示为
\[
  a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}=\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} .
\]
\pause
我们有：当三阶行列式
\[
  d=\begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \neq 0
\]
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
\[
x_{1}=\frac{d_{1}}{d}, \quad x_{2}=\frac{d_{2}}{d}, \quad x_{3}=\frac{d_{3}}{d},
\]
其中
\[
  d_{1}=\begin{vmatrix}
  b_{1} & a_{12} & a_{13} \\
b_{2} & a_{22} & a_{23} \\
b_{3} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}, \quad d_{2}=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1} & a_{13} \\
a_{21} & b_{2} & a_{23} \\
a_{31} & b_{3} & a_{33}
\end{vmatrix}, \quad d_{3}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & b_{2} \\
a_{31} & a_{32} & b_{3}
\end{vmatrix} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
在这一章我们要把这个结果推广到 $n$ 元线性方程组
\[
  \begin{cases}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{cases}
\]
的情形。 为此，我们首先要给出 $n$ 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。
\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 二阶、三阶行列式的公式如何？
    \item 二、三元线性方程组
      的Cramer法则如何？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
